Dieser Cache ist Dodo und Pooh gewidmet, die uns, wenn auch
unbewusst, den Anstoß zu diesem Rätsel gaben!
Jeder von uns, der gerne auch Mysteries löst, wird früher oder
später sicherlich auf Rätsel stoßen, die mit anderen Zahlensystemen
zu tun haben. Einige wissen etwas damit anzufangen und können diese
Rätsel mehr oder weniger einfach lösen. Andere haben noch nie etwas
davon gehört und fragen sich vielleicht auch jetzt gerade, worauf
ich eigentlich hinaus will. Tux hat es sich zur Aufgabe gemacht,
die Menschheit mit den gängigsten Zahlensystemen vertraut zu
machen, damit jeder Geocacher die Chance hat, auch derartige
Mysteries lösen zu können.
Vermutlich hat jeder von euch schon einmal vom Binärsystem gehört.
Das sind diese Zahlen, die nur aus Nullen und Einsen bestehen, und
in der Informatik eine wichtige Rolle spielen. Aber wer es nie
gelernt hat bzw. sich nie näher damit beschäftigt hat, wird mit
einer Zahl wie 10111 nichts anfangen können. Der Dezimalwert dazu
ist 23. Das Dezimalsystem ist das, was wir alle kennen und in der
Schule gelernt haben. Wie kommt man aber nun von 23 auf 10111? Das
ist gar nicht so schwierig und ich will es an den Beispielen 23 und
42 hier verdeutlichen. Um aus einer Dezimalzahl eine Binärzahl zu
machen, teilt man sie solange durch 2 bis man bei Null anlangt.
Dabei notiert man sich den Rest, der bei der Division übrig bleibt.
Das sieht dann folgendermaßen aus:
Wem jetzt noch unklar ist, wie man auf den jeweiligen Rest kommt,
der findet
hier ein recht verständliches Beispiel.
Ihr seht nun diesen Rechengang und ihr wisst auch schon, dass die
23 im Binärsystem 10111 heißt. Vielleicht kommt ihr jetzt auch
selbst darauf, wie die 42 binär aussieht. Richtig! 42 ist binär
101010. Das heißt also, man muss nur die Reste der Division von
unten nach oben lesen und schon hat man die entsprechende
Binärzahl. Nun wird euch aber der umgekehrte Weg sicher viel mehr
interessieren. Bei einem Mystery ist ja eher die Umrechnung ins
Dezimalsystem gefordert und so lassen sich die Koordinaten auch
viel einfacher in den GPSr eingeben ;-)
Um eine Binärzahl in eine Dezimalzahl umzurechnen, multipliziert
man von rechts anfangend jeden Wert der Binärzahl mit 2°, 2¹, 2²
usw. und addiert das ganze. 2° ist übrigens 1, das gleiche gilt für
jede andere reelle Zahl mit der Potenz Null. Das klingt jetzt
kompliziert, aber wenn ihr den Rechenweg seht, wird es
deutlich:
Neben dem Binärsystem und dem, uns allen vertrautem, Dezimalsystem
gibt es aber noch zwei andere Zahlensysteme, die häufig gebraucht
werden und hier natürlich nicht unerwähnt bleiben sollen. Als
nächstes wollen wir uns das Oktalsystem anschauen. Das ist ein
Zahlensystem mit der Basis 8, d.h. es besteht aus acht Zahlen,
nämlich den Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Die Umrechnung von einer
Dezimalzahl in das Oktalsystem verläuft im Prinzip genauso wie die
oben beschriebene Umrechnung ins Binärsystem. Nur dass diesmal
nicht durch zwei, sondern durch acht geteilt wird. Das sieht dann
so aus:
Die Zahl 23 heißt also im Oktalsystem 27 und die 42 ist oktal 52.
Das sieht jetzt vielleicht etwas verwirrend aus. Binärzahlen, die
nur aus Nullen und Einsen bestehen, kann man ja noch relativ gut
von Dezimalzahlen unterscheiden, aber bei Oktalzahlen ist der
Unterschied nicht mehr so eindeutig. Zur Unterscheidung schreibt
man deshalb i.d.R. neben die Zahlen, welchem Zahlensystem sie
angehören. Das sieht man auch oben bei der Umrechnung der
Binärzahlen ins Dezimalsystem. Neben der Binärzahl steht eine
kleine zwei, neben der Dezimalzahl eine kleine zehn. Diese kleine
Zahl nennt man auch Basis. Dezimalzahlen haben die Basis 10,
Binärzahlen die Basis 2 und Oktalzahlen die Basis 8. Diese Zahlen
werden also auch zur Umrechnung benutzt. So auch zur Umrechnung vom
Oktal- ins Dezimalsystem:
Als letztes Zahlensystem möchte ich jetzt noch des
Hexadezimalsystem vorstellen. Dieses System hat die Basis 16. Es
besteht also aus 16 Zahlen. Nun kennen wir aber nur zehn
verschiedene Zahlen, nämlich die Zahlen 0 bis 9. Deshalb werden für
das Hexadezimalsystem auch Buchstaben genutzt. Hexadezimalzahlen
sehen deshalb so aus: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E,
F. Das entspricht den Zahlen 0 bis 15.
Zur Umrechnung von dezimal zu hexadezimal brauche ich nicht mehr
viel sagen:
Und auch die Umrechnnung in unser gewohntes Dezimalsystem ist
nichts neues:
Ein wichtiger Unterschied beim Hexadezimalsystem ist, dass die
Zahlen 10 bis 15 durch Buchstaben dargestellt werden, nämlich durch
A bis F. Prinzipiell kann man mit Zahlensystemen beliebiger Basis
rechnen. Wie ihr an den obigen Beispielen seht, erfolgt die
Umrechnung immer nach demselben Prinzip. Wie ihr aber auch am
Hexadezimalsystem sehen könnt, je größer die Basis desto mehr
Zeichen braucht man. Wenn die Zahlen 0 bis 9 nicht mehr reichen,
kann man sich natürlich dem Alphabet bedienen. Wenn das
ausgeschöpft ist, könnte man Sonderzeichen verwenden. Aber mit
derartigen Überlegungen will ich euch jetzt gar nicht
belasten.
Ihr kennt nun die wichtigsten Zahlensysteme. Damit seid ihr jetzt
auch fit für das Rätsel zu diesem Cache. Ich mache es natürlich
nicht so einfach und verwende eines der oben beschriebenen
Zahlensysteme. Die Basis des Zahlensystems müsst ihr selbst
erraten, die Umrechnung kennt ihr ja nun. Da dieser Cache aber kein
fieses Rätsel sein soll, sondern eher eine kleine, nett gemeinte
Lektion in Sachen Zahlenlehre, habe ich die Basis, in der die
Koordinaten geschrieben sind, im Hint versteckt. Wer also nicht
raten will, kann sich einfach den Hint anschauen. Ok, so einfach
ist es dann doch nicht. Wer den Hint lesen will, muss sich mit
einem gewissen weitverbreiteten Code auskennen, dessen Abkürzung
aus fünf Buchstaben besteht.
Beim Hint verwende ich übrigens die dezimale Schreibweise.
Und hier nun die Koordinaten:
N (1212)° (1201).(222000) E (0110)° (2001).(11211)