Geometer sieht 5 Kirchtürme und fängt an zu rechnen

In der Geschichte zu diesem Mathe-Cache sind die angegebenen Kompasspeilungen von einem unveröffentlichten Standpunkt aus (dieser befand sich nicht an den Startkoordinaten des Caches) echte Peilungen zu 5 echten Kirchturmspitzen. Diese Kirchtumrspitzen konnte man also wirklich sehen. Siehe * am Ende des Listings für den Hintergrund zu weiteren Grundlagen der Aufgaben.

Grundlage dieses Mathe-Caches

Geschichte von zwei Geometern und von einer hilfswilligen Person

Ein Geometer Friedrich Wilhelm B. misst die Richtungen zu 5 Kirchturmspitzen/Fernzielen (trigonometrische Punkte) und fängt an zu rechnen.  Mit seiner eigentlichen Vermessungsarbeit ist er schon lange fertig. Er versteckt jetzt etwas Papier und einen Stift in einem Behältnis; natürlich nicht dort, wo er gerade gemessen hat.

Er hat einen Kollegen Hans Dampf, der morgen Nivellierarbeiten durchführen soll. Hans wird morgen zum Nivellieren ganz bestimmt keine Koordinaten dieser trigonometrischen Punkte/der Kirchturmspitzen für sein Nivellement dabei haben.

Sein Kollege Hans ist ein Angeber vor dem Herren, der immer wieder vor allen Kollegen behauptet, alle Berechnungen aus dem dem Effeff zu können.

Unser Herr B. will Hans nun hart auf die Probe stellen. "Ich stelle Dir ein paar Rechenaufgaben. Aus den Ergebnissen berechnest Du Koordinaten zu einem versteckten Behältnis, in welchem ich Dir eine Nachricht sowie zum Nachweis Stift und Papier hinterlassen habe. Wenn Du die Aufgabe löst, trage nicht Deinen Namen sondern den Namen/Pseudonym ein, den Du Dir für unser Spiel ausgedacht hast."

Hans ist ein passionierter Segler und liebt seinen Seglerkompass und sein GPS über alles. Herr B gibt ihm die angepeilten Richtungen zu den Kirchtürmen in Altgrad, passend für Hans seinen Seglerkompass, mit. "Hans, Deinen Kompass brauchst Du für die Aufgabe gar nicht! Stell Dir aber trotzdem für das Quiz vor, Du hättest gerade 5 Kirchturmspitzen angepeilt. Dadurch hast Du folgende Peilungen:

• Peilung P1 zu Kirchturmspitze 1: 45° (Punkt T1) 
• Peilung P2 zu Kirchturmspitze 2: 100° (Punkt T2); Tipp: Die zugehörige Kirche steht in Nufringen
• Peilung P3 zu Kirchturmspitze 3: 165° (Punkt T3); (Oh Friedrich, Handy weg beim Peilen, sonst ist es auch mal 10° falsch!)
• Peilung P4 zu Kirchturmspitze 4: 230° (Punkt T4)
• Peilung P5 zu Kirchturmspitze 5: 270° (Punkt T5)

Die Peilungen P1-P5 rechnest Du mir für die Aufgabe alle in Neugrad um. Schneide nach zwei Nachkommastellen die übrigen Nachkommastellen ab für die Richtungswerte G1- G5 in gon.

Mögliche Fernziele, die Du beim Peilen zu T1, T4 und T5 erwischt haben könntest:

1. Kirchturmspitze Affstätt 
2. Kirchturmspitze Gärtringen St. Veit-Kirche
3. Kirchturmspitze Gärtringen katholische Kirche
4. Kirchturm Herrenberg Stiftskirche
5. Kirchturmspitze Kuppingen "Oberjochstraße"
6. Kirchturmspitze Kuppingen Stephanuskirche
7. Kirchturmspitze Oberjesingen Bricciuskirche

Als Koordinaten setze für die Kirchturmspitzen die Mitte des in Openstreetmap dargestellten Kreuzes im Kirchengebäude an. Schneide die restlichen Nachkommastellen hinter der zweiten Nachkommastelle für unser Spiel einfach ab.

(Du kannst auch mit Deinem GPS zu jeder Kirche gehen, und Dich an verschiedenen Punkten bei den Außenwänden um das Kirchgebäude aufstellen. Dann bekommst Du die Koordinate des ungefähr in der Gebäudemitte dargestellten Kreuzes ebenfalls -aber durch eigenes Messen- in der geforderten Genauigkeit und durch anschließendes Bilden des Mittelwertes. Diese Position der Kreuze in OSM/Gebäudemittelpunkte sollen in unserem Spiel ersatzweise für die unerreichbaren Kirchturmspitzen [die eigentlichen TPs] genommen werden.).

Hans, ich gebe Dir ein Beispiel. Nehmen wir an, für die Kirchturmspitze der Pelagiuskirche in Nufringen ermittelst Du durch "OSM-Herausgreifen"

 N 48° 37.331'  E 008 53.466'

Durch Vereinfachung/Nullsetzen der dritten Nachkommastelle hast Du nun unsere Spiel-Koordinaten (vertretungsweise für die echten Koordinaten der Kirchturmspitze):

N 48° 37.33  E 008 53.46

ermittelt.

***Zugegeben: Die Spielkoordinaten hüpfen von der echten Kirchturmspitze für unser Spiel durchaus mal mehr als 10m. Dieser "Kunstgriff" soll aber sicherstellen, dass ihr bei fehlerfreiem Vorgehen dieselben Spielkoordinaten für euren Start ermitteln könnt***

Wandle die Koordinaten aller benötigten Kirchturmspitzen in metrische UTM-Koordinaten (WGS 84) um. Runde die ermittelten metrischen Koordinaten auf drei Nachkommastellen (zum Spaß tun wir so, als hätten wir gute TP-Koordinaten und wollten nun sehr genau rechnen).

Als UTM-Koordinaten für die Spielkoordinaten zum Kirchturm der Pelagiuskirche in Nufringen hättest Du ermittelt:

Ostwert 491967,336 und Nordwert 5385460,996

Vielleicht kommst Du durch das Messen verschiedener Positionen (in UTM!) an den erreichbaren Außenwänden auch über Dein GPS an unsere UTM-Spielkoordinaten. Ansonsten gibt es sehr schöne schwerverdauliche Transformationsformeln. Ich empfehle allerdings die Nutzung einer der kostenlosen Seiten im Internet zum Umwandeln von den für geocaching üblichen Koordinaten in Länge und Breite in UTM-Koordinaten (WGS 84) in Meter. Ein Titel erinnert mich an deine Berge 

Nur falls Du keine Nachkommastellen ermitteln konntest: Sollten Deine Berge technisch gerade nicht greifbar sein, so denke daran dass Du einen gps-cache suchst. Die entsprechende Seite rundet UTM leider auf Meter. Beim Ost- und den Nordwert der Kirchturmspitzen Gärtringen und Oberjesingen ziehe für das nachfolgende Verfahren 1m jeweils ab. Für die Kirchturmspitze Herrenberg kannst Du die Ergebnisse für das Nachfolgende direkt verwenden (dasselbe gilt für den geoplaner allerdings musst Du dort den Ostwert von der Kirchturmspitze Gärtringen unverändert verwenden [also nicht -1m]):

Beispiel: Kirchturmspitze Nufringen Ostwert: 491967,336 ;

ich bekomme beim gps-cache nur den Ostwert auf volle Meter  491967.

Abhilfe:

Die letzten drei Stellen vor dem Komma sind M3. Also M3 = 967; mein K_ost für Nufringen sei -631
Ostwert mit Nachkommastellen = 491 M3 , M3 + K_ost => 491967,336

Kirchturmspitze Gärtringen 
K_ost = 112 ; K_nord = 207

Kirchturmspitze Oberjesingen
K_ost = -40 ; K_nord = -85

Jetzt Hans, wo Du warm geworden bist:

Die vier Fernziele: Kirchturmspitzen von Kirchen in Nufringen, Gärtringen St. Veit-Kirche, Oberjesingen und der Herrenberger Stiftskirche verbinden wir zu einem Viereck. Das Viereck umspannt eine Fläche um meinen gestrigen Standpunkt. Die gepeilten Werte in Altgrad sind nicht erfunden! 

Berechnen musst Du jetzt:

• Die Fläche {A B C D E F G H.n gerundet auf eine Nachkommastelle in m2}... (wenn Du gar keine Ahnung hast, denke mal an Herrn Gauss),
• den  Koordinaten  eines Punktes, gebildet aus dem Mittelwert der Koordinaten  aller Eckpunkte, in UTM-Koordinaten als Ost- und Nordwert  in Meter gerundet auf drei Nachkommastellen.

• Den Horizontal-Abstand s zwischen den zuvor ermittelten Koordinaten des Mittelwertpunktes und der Kirchturmspitze in Nufringen (gerundet auf die zweite Nachkommastelle in Meter).

• Jetzt suchen wir einen "Spielhöhenwert"  K der Startkoordinate über Normalnull. Hans, wir ignorieren hier mal das Nivelliergerät im Quiz! Die Startkoordinate liegt zwischen zwei "10er-Höhenlinien". Ermittle für K die Höhe der dazwischen liegenden 5m-Höhenlinie.(Beispiel ein Punkt zwischen der nächsten höheren 480m-Höhenlinie von und der nächsten niedrigeren  470m-Höhenlinie: Mein Ergebnis für die Höhe sind in dem Beispiel also 475m über Normalnull für die nahe 475m-Höhenlinie. Wie aber lautet jetzt die Höhe K von Deiner gesuchten "5m-Höhenlinie"?)
• Meinen Standpunkt hätte ich bei bekannten Koordinaten der Fernziele über einen Rückwärts-{OPQRSTU} ermitteln können - ganz ohne Distanzen zu messen! Welches Teilwort meine ich mit {OPQRSTU}. Dabei handelt es sich um eine trigonometrische Methode aus der Landesvermessung. Die gemessenen Fernziele dürfen allerdings nicht auf einem Kreis liegen (sonst unberechenbar). Ermittle Zahlenwerte für die tatsächlichen Buchstaben (a wäre 1, b wäre 2 usw.).

So Hans, dann hättest Du schon alles, um die Koordinate des versteckten Behälters zu berechen. Rechne einfach noch entsprechend dieser Formel aus:

Zwischenwert von Flächenberechnung = ABCDEF.GH = Z1

Zwischenwerte des Teilwortes (zwei Nachkommastellen): OPQ.R = Z2 ; ST.U = Z3

In UTM-Koordinaten:

E  {487039.741+Z3+K+P4+P2+P1*10+s}

N {5277903.106+Z2+K+P5+P3+P1*12+Z1}

Kollege Hans tönt groß, "Dein Dösle hab ich schnell gefunden!".

Eigentlich müsste ihm jedoch ganz anders sein, denn hier und da hat Hans von der Aufgabenstellung nur Bahnhof verstanden.

Hans hat aber einen Trumpf, von dem Herr B. nichts weiß!

Hans kennt Dich!

Hans hatte Dir mal einen sehr großen Gefallen getan, weswegen er immer noch was bei Dir gut hat.

Nun ist es an Dir, Hans zu helfen, damit er sich nicht blamiert, sondern die Dose findet. Er wird in Anerkennung Deinen Spielernamen auf dem Zettel in dem Behälter eintragen (zusammen mit dem Funddatum).

Los gehts!   

Prüfe die ermittelten Finalkoordinaten für diesen Mathe-Cache auf  GeoChecker.com.

* = Um für alle gleiche Spielkoordinaten zu ermitteln, erschaffen wir Spielkoordinaten die einige Meter lagemäßig neben den Kirchturmspitzen liegen. Die echten Koordinaten der Kirchturmspitzen sind für uns nicht einfach ermittelbar, daher nehmen wir Koordinaten auf die jeder beim Rätsellösen über OSM einheitlich errmitteln können. Ab der Umrechung in metrische UTM-Koordinaten runden wir diese auf die dritte Nachkommastelle und simulieren eine höhere Genauigkeit für die Berechnungen. Über einen einfachen Kompass würden die "lagemäßig entfremdeten Kirchtürme" nicht besonders gegenüber den realen in einer Peilung abweichen. Das Rätsel benötigt keine echten Theodolitmessungen, wir behandeln aber den Wandel zwischen Alt- und Neugradrichtungen. Peilung 3 war eventuell durch ein zu nahes Handy abgelenkt und hat 10° Unsicherheit, was für die Rechenaufgabe aber belanglos ist.