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Der Kreisel

von Fam_Marple     Österreich > Oberösterreich > Linz-Wels

N 48° 13.833' E 014° 05.524' (WGS84)

 andere Koordinatensysteme
 Größe: groß
Status: kann gesucht werden
 Versteckt am: 30. Januar 2020
 Veröffentlicht am: 30. Januar 2020
 Letzte Änderung: 30. Januar 2020
 Listing: https://opencaching.de/OC15D8D
Auch gelistet auf: geocaching.com 

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Gefahren
Der Weg
Zeitlich
Saisonbedingt
Benötigt Vorarbeit
Personen

Beschreibung   

Allgemein

Ein um seine Figurenachse rotierender Kreisel behält bei kardanischer Aufhängung seine Orientierung im Raum bei, auch wenn das Tragegestell verdreht wird. Das schwache Drehmoment, das durch die Lagerreibung der Aufhängung wirkt, erzeugt eine vernachlässigbar kleine Änderung des Drehimpulses, die nicht zu einer beobachtbaren Veränderung der Rotationsachse führt. Verglichen mit dem ruhenden Kreisel sind große äußere Momente erforderlich, um die Ausrichtung zu ändern.

Kippen eines rotierenden Kreisels (τ = Drehmomentθ = φ)

Weiterhin lässt sich beobachten: Wenn beim rotierenden Kreisel versucht wird, seine Rotationsachse zu kippen, dann lässt sich eine Kraftwirkung senkrecht zur Kipprichtung der Rotationsachse registrieren. Je schneller der Kreisel rotiert, desto größer sind die auftretenden Kräfte (die auch Kreiselkräfte genannt werden). Erklären lässt sich das mit dem hohen Drehimpuls des Kreisels, der in seiner Richtung geändert werden muss. Dessen Änderung erfolgt in der Richtung, in der die Rotationsachse gekippt wird, und erfordert ein Drehmoment, das in der Kippebene liegt. Das aufzubringende Drehmoment bedingt die Kraftwirkung senkrecht zur Kipprichtung.

Umgekehrt bewirkt ein Drehmoment senkrecht auf einen rotierenden Kreisel nicht, dass er seine Ausrichtung um die Achse des Drehmoments ändert, sondern in die Richtung der Drehmomentachse kippt.

Kreiselverhalten anhand eines eingeschlossenen Körpers. (grün = v und blau F)

Die Erklärung des Kreiselverhaltens mag zwar rechnerisch logisch sein, aber schon der Drehimpuls selbst ist eine wenig anschauliche Größe. Daher sei nun zur Plausibilisierung der Abläufe ein Körper angenommen, der im Kreisel eingeschlossen ist. Solange der Kreisel stabil um seine Figurenachse rotiert, muss der Kreisel auf den eingeschlossenen Körper nur eine Zentripetalkraft ausüben. Spannend wird es, wenn nun die Rotationsachse des Kreisels gekippt wird und die Bewegung des Körpers dabei analysiert wird. Dann bewegt sich der eingeschlossene Körper auch in Kipprichtung, wechselt aber ständig die Seite und damit seine Bewegungsrichtung, also seine Geschwindigkeit. In Richtung der Senkrechten zur Kippebene führt der eingeschlossene Körper eine sinusförmige Schwingung aus. Das bedeutet, im Scheitel gibt es einen Ruhepunkt und im „Nulldurchgang“, beim Wechsel der Kippseite, findet die größte Änderung der „Kippgeschwindigkeit“ und damit die größte Kraftwirkung statt. Der Kreisel will also beim Kippen zur Seite ausbrechen.

Kreiselmoment

Wenn die Winkelgeschwindigkeit des Kreisel ω deutlich größer als die Kippwinkelgeschwindigkeit Ω ist, dann gilt die im Weiteren folgende Näherungsrechnung. Die Drehimpulsänderung {\textstyle {\mathrm {d}}{\vec {L}}} ergibt sich aus der Winkeländerung dφ und der Ausrichtung der Kippachse {\vec e}_{\Omega } nach der folgenden Formel. Das Kreuzprodukt bedeutet, hier interessiert nur die Komponente des Drehimpulses, die senkrecht zur Kippachse {\vec e}_{\Omega } steht. Der Anteil parallel zur Kippachse sei vernachlässigt.

{\vec {L}}=I\,{\vec {\omega }}

{\displaystyle \mathrm {d} {\vec {L}}=\mathrm {d} \varphi \,{\vec {e}}_{\Omega }\times {\vec {L}}}

Die Winkeländerung dφ über die Zeit dt stellt des Weiteren die Kippwinkelgeschwindigkeit Ω dar. Im nächsten Schritt sei die Drehimpulsänderung eingesetzt in den Eulerschen Drehimpulssatz. Damit folgt das resultierende Drehmoment M aus den Kreiselparametern Rotationsrate ω und Trägheitsmoment der Figurenachse I, verbunden mit der Kippwinkelgeschwindigkeit Ω.

{\displaystyle {\vec {\Omega }}={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}\,{\vec {e}}_{\Omega }}

{\displaystyle {\vec {M}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \varphi \,{\vec {e}}_{\Omega }\times {\vec {L}}}{\mathrm {d} t}}={\vec {\Omega }}\times {\vec {L}}}

{\vec {M}}={\vec {\Omega }}\times {\vec {\omega }}\,I

Den Cache findet Ihr bei: ---> N48° 14.ABC  E14°05.DBA

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